上の図のような１辺の長さが６cmの正方形ＡＢＣＤがあります。ＡＰ＝３cm、ＡＱ＝４cmのとき、図の角ｘの大きさは何度ですか。
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(図１ 画像はクリックすると拡大します)
図１のように点Ｐから点Ｑへ補助線を引くと、三角形ＡＰＱができます。
この三角形は直角をはさむ２つの辺が３cmと４cmなので、残りの辺ＰＱの長さは５cmです。
※ 辺の長さの比が３：４：５の直角三角形はよく出題されます。
(図２ 画像はクリックすると拡大します)
図２のように、三角形ＰＢＣと形も大きさもまったく同じ三角形を正方形の右側にくっつけます。
このとき、三角形ＰＱＣと三角形ＲＱＣの各辺の長さを比べてみると、
・辺ＰＱと辺ＲＱは長さが同じ(どちらも５cm)。
・辺ＰＣと辺ＲＣも長さが同じ(もともと同じ辺)。
・辺ＱＣは重なっている。
という３つのことから、この２つの三角形は合同であることが分かります。
したがって、角ｘの大きさは角イと角ウの和と等しくなります。
また、角アと角ｘと角イの和は９０度(正方形のひとつの内角)、角アと角ウの大きさは同じなので、角ｘと角イと角ウの和も９０度になります。
角ｘ＋角イ＋角ウ＝９０度、角ｘ＝角イ＋角ウなので、角ｘの大きさ２つ分が９０度になります。
以上から、角ｘの大きさは、９０÷２＝４５度です。
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